An iterative way for the approximate solution of the first-order perturbed differential equation

Предложено развитие итерационного подхода к исследованию регулярно возмущённых дифференциальных уравнений. С помощью этого подхода построена последовательность, сходящаяся (по норме пространства непрерывных функций) к решению задачи Коши для возмущённого по малому параметру сильно нелинейного дифференциального уравнения первого порядка. Данная последовательность сходится к решению задачи также и в асимптотическом смысле. Доказательство сходимости (как обычной, так и асимптотической) построенной последовательности и оценка скорости сходимости основаны на теореме Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения полного метрического пространства.We propose a development of an iterative approach to regularly perturbed differential equations. With this approach we construct a sequence that converges (with respect to the norm of the space of continuous functions) to the solution to the Cauchy problem for a perturbed by a small parameter first-order strongly nonlinear differential equation. This sequence also converges to the solution to the problem in the asymptotic sense. The proof of convergence (both the ordinary and the asymptotic) of the sequence constructed and the estimate of the rate of convergence are based on the Banach fixed-point theorem for a contraction mapping of a complete metric space.