Термодинамика струны и теория чисел

В методической заметке рассмотрены термодинамические свойства простой системы с бесконечным числом степеней свободы --- квантовой струны, эквивалентной бесконечному набору осцилляторов с частотами, кратными основной частоте $\omega$. Вычислены статистическая сумма, средняя энергия и теплоемкость струны как функции температуры. С использованием преобразования Лапласа статистической суммы показано, что статистический вес состояния струны с энергией $E = N \hbar\omega $ равен числу разбиений $p(N)$ натурального числа $N$ на сумму натуральных чисел, и воспроизведена (с точностью до численного коэффициента) известная в теории чисел асимптотическая формула Харди--Рамануджана для $p(N)$ при $N\gg 1$. Показано, что квантование струны эквивалентно также квантованию одномерной теории поля, описывающей, в частности, суперпозицию стоячих электромагнитных волн.