Обобщенные динамические уравнения плоского криволинейного движения материального тела по желобу с учетом сил трения (их численный анализ в некоторых частных случаях)

При внимательном знакомстве с теоретическими исследованиями, посвященными изучению свойств криволинейного движения [1,2,3,4,5,6,7], был обнаружен факт отсутствия общих динамических уравнений, описывающих плоское криволинейное движение при учете диссипативных свойств реальной физической среды. Надо сказать, что когда в классической механике принимаются во внимание силы трения, траектория движения становится, во--первых, финитной, а, во--вторых, качественно значительно более сложной, в чем можно убедиться, например, по работе [8], где аналитически и численно была решена задача о выяснении траектории движения для брахистохроны с трением. К слову сказать, именно эта задача и послужила толчком к обобщению полученных в ней результатов для вывода полной системы динамических уравнений материального тела массой $m$ с учетом сил трения и на случай двухмерного произвольного криволинейного движения.

Рассмотрим произвольный кусок криволинейной траектории, показанный на рис. 1.

В подвижной системе координат, которую мы зададим двумя единичными векторами $\mathbf{n}$ и $\boldsymbol{\tau }$, где $\mathbf{n}$ --- единичный вектор нормали к траектории, а $\boldsymbol{\tau }$ --- единичный вектор касательной к ней по направлению движения, по аналогии с работой [8] можно записать следующую систему уравнений

где сила сопротивления $F_{fr} =k_{1} N+F_{s} $, здесь $k_{1}$ --- коэффициент сухого трения, а $F_{s}$ --- сила вязкого сопротивления со стороны среды. Выберем ее в виде закона Стокса, то есть просто пропорциональной скорости движения, и положим, что $F_{s} =k_{2} v$, где по порядку величины коэффициент $k_{2} $ есть факторизованное выражение $\xi \eta L$, где $\xi$ --- числовой коэффициент, который для шара равен $3\pi $, $\eta$ --- динамическая вязкость среды, а $L$ --- линейный размер тела (для шара это просто $2R_{0} $, где $R_{0}$ --- радиус шара). $R$ --- радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке, $N$ --- сила реакции желоба, по которому движется тело. Если желоб отсутствует, силу реакции следует положить равной нулю и учесть только сопротивление со стороны вязкой среды, т. е. только силу $F_{s} $.

В раскрытой форме систему уравнений fGrindEQ__1_ можно представить как

В общем случае, когда исследуется динамика криволинейного движения по произвольной траектории, систему уравнений fGrindEQ__2_ следует дополнить еще одним уравнением. Речь идет об уравнении движения вектора момента импульса. Действительно, имеем для него

где момент импульса тела относительно центра неподвижной системы координат $(x,y)$ есть $\mathbf{L}=m\left[\mathbf{r}\times \mathbf{v}\right]$, а $\mathbf{M}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf{M}_{i} $, где отдельный момент сил относительно центра координат $\mathbf{M}_{i} =\left[\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{F}_{i} \right]$, $\mathbf{r}_{i}$ --- радиус--вектор $i$--ой силы $\mathbf{F}_{i} $. Для $z$--компоненты уравнения fGrindEQ__3_ имеем $m\dfrac{d}{dt} \left[vr\sin \left(\alpha -\phi \right)\right]=mgr\cos \phi +$ $+Nr\cos \left(\alpha -\phi \right)-F_{fr} r\sin \left(\alpha -\phi \right)$.

Записывая левую часть этого уравнения, как

и учитывая верхнее уравнение в системе fGrindEQ__1_, после простых преобразований получим Подставляя в fGrindEQ__4_ из нижнего уравнения системы fGrindEQ__2_ $N$, найдем в итоге следующую систему динамических уравнений

После простого сокращения в левой и правой частях нижнего уравнения, а также после раскрытия производной по времени, получаем для него

Как было показано в [8], для элемента длины траектории имеет место равенство $dl=Rd\alpha $. Поэтому $v=R\dot{\alpha }$ или $\dot{\alpha }=\dfrac{v}{R} $. Подстановка этого соотношения в левую часть уравнения fGrindEQ__6_ приводит к еще одному сокращению, и в результате у нас получается совсем компактное уравнение $\dot{r}\sin \left(\alpha -\phi \right)=r\dot{\phi }\cos \left(\alpha -\phi \right)$. Таким образом, система уравнений fGrindEQ__5_ с учетом равенства $R=\dfrac{v}{\dot{\alpha }} $ может быть записана как

Далее, так как $v=R\dot{\alpha }=\frac{dl}{dt} =\sqrt{\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\phi }^{2} } $, т. е. $R^{2} \dot{\alpha }^{2} =\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\phi }^{2} $, а в полярной системе координат $r,\phi $ радиус кривизны может быть записан в виде

после возведения формулы fGrindEQ__8_ в квадрат из уравнения $R^{2} \dot{\alpha }^{2} =\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\phi }^{2} $ немедленно находим

С помощью соотношения $v^{2} =\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\phi }^{2}$ и $r^{2} \dot{\phi }^{2} =v^{2} -\dot{r}^{2}$ имеем из fGrindEQ__9_ ^2 =2^2 +r-r+(v^2 -^2 ) или

Чтобы преобразовать fGrindEQ__10_, воспользуемся нижним уравнением системы fGrindEQ__7_ и перепишем его как $ctg\left(\alpha -\phi \right)=\dfrac{\dot{r}}{r\dot{\phi }} $. Дифференцируя обе части по времени, получаем отсюда $-\dfrac{\dot{\alpha }-\dot{\phi }}{\sin ^{2} \left(\alpha -\phi \right)} =\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\dot{r}}{r\dot{\phi }} \right)$. Раскрывая здесь правую часть, имеем

Сравнивая найденное выражение с уравнением fGrindEQ__10_, и, учитывая условие $\dot{\alpha }-\dot{\phi }\ne 0$, легко получить следующее равенство $\sin ^{2} \left(\alpha -\phi \right)=\dfrac{r^{2} \dot{\phi }^{2} }{v^{2} } $. Или

А так как $\operatorname{ctg}\left(\alpha -\phi \right)=\dfrac{\dot{r}}{r\dot{\phi }} $, то Для того, чтобы система уравнений была замкнутой, нам осталось найти уравнение для угла $\alpha $. Однако перед тем, как это сделать, необходимо остановиться на одном важном моменте. Поскольку сила реакции есть $N=\frac{mv^{2} }{R} -mg\cos \alpha $, то, полагая (доказательство см. в [9]), что $\dfrac{mv^{2} }{R} =-mg\cos \alpha $ из верхнего уравнения fGrindEQ__2_ найдем

Соответственно сила реакции должна меняться по закону

Для простейшего случая замкнутого движения по вертикально стоящему желобу в виде окружности, то есть при $r=R_{0} =\text{const}$ и $\alpha =\phi +\dfrac{\pi }{2} $, видим, что уравнение fGrindEQ__13_ удовлетворяется автоматически, а fGrindEQ__12_ дает известную формулу $v=R_{0} \dot{\phi }$. Это, в свою очередь, приводит к тому, что уравнение fGrindEQ__14_ может быть записано в виде следующего нелинейного дифференциального уравнения

где частота $\omega _{0} =\sqrt{\dfrac{g}{R_{0} } } $. Уравнение fGrindEQ__16_ было решено численно. В результате получаются затухающие решения, одно из которых мы представили на рис. 2. Обычно коэффициент вязкого трения для реальных размеров тел (но только не в случае нанообъектов (см. ниже)) всегда мал. Несколько подобный подход был продемонстрирован и в задаче о брахистохроне [8], который привел нас не только к правильным зависимостям, но еще и позволил предсказать геометрический фазовый переход, характерный именно для брахистохроны. При этом временное (или угловое) распределение силы реакции желоба может быть определено по уравнению fGrindEQ__15_, как $N=2mg\cos \alpha \left(t\right)$. Таким образом, принимая за основу доказанное равенство $\dfrac{mv^{2} }{R} =mg\cos \alpha $ (см. [8]) и, вспоминая, что $\dot{\alpha }=\dfrac{v}{R} $, находим в итоге следующую замкнутую система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающую движение тела по вертикально расположенному желобу произвольной формы