Геометрический фазовый переход в задаче о брахистохроне

Найдено аналитическое решение задачи Я. Бернулли о брахистохроне с учетом сил трения (вязкого, пропорционального скорости движения и сухого). Показано, что ее решение можно представить только в виде квадратур, и с помощью численного расчета приведены различные рисунки оптимальных траекторий в условиях диссипации. Доказано, что в отсутствии сил трения любое движение по криволинейному желобу под действием одной только силы тяжести всегда сводится к задаче о брахистохроне, решение которой может быть найдено без привлечения методов вариационного исчисления и оптимального управления, а, используя лишь общие принципы динамики криволинейного движения. Найдена точка «геометрического фазового перехода» , соответствующая срыву брахистохрон с одного класса траекторий на качественно другой класс. Приведено численное описание поведения траекторий в непосредственной окрестности от точек «геометрического фазового перехода». Аналитически и численно доказано, что при выходе системы на стационарный режим траектория будет представлять собой обычную параболу, движение по которой происходит периодическим образом, наподобие маятника.